arkusz dodatkowy II odpowiedzi

SAVE OFFLINE

Centralna Komisja Egzaminacyjna

Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 2009

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

Odpowiedź A

C

B

B

C

A

B

A

D

A

C

B

B

C

C

D

A

D

C

D

A

A

D

D

A

Przykładowe rozwiązania zadań otwartych Zadanie 26. (2 punkty) Rozwiąż nierówność x 2 − 3x + 2 ≤ 0 . Rozwiązanie: Obliczam miejsca zerowe funkcji kwadratowej f ( x ) = x 2 − 3 x + 2 :

Δ = ( −3 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 9 − 8 = 1 2

Δ =1

3 −1 3 +1 =2 = 1 x2 = 2 2 Rysuję fragment wykresu funkcji kwadratowej f i na jego podstawie odczytuję rozwiązanie nierówności: x1 =

y

6

5

4

3

2

1

x

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1

-2

Odpowiedź: x ∈ 1, 2 . Uwaga: Można przedstawić funkcję f w postaci rozwiązanie nierówności.

2

f ( x ) = ( x − 1)( x − 2 ) i odczytać

Zadanie 27. (2 punkty) Rozwiąż równanie x3 − 7 x 2 + 2 x − 14 = 0 . Rozwiązanie: Stosuję metodę grupowania, by przedstawić lewą stronę równania w postaci iloczynowej: x3 − 7 x 2 + 2 x − 14 = x 2 ( x − 7 ) + 2 ( x − 7 ) = ( x 2 + 2 ) ( x − 7 ) .

Z równania ( x 2 + 2 ) ( x − 7 ) = 0 otrzymujemy, że

x 2 + 2 = 0 lub x − 7 = 0 . Równanie x 2 + 2 = 0 nie ma rozwiązań. Rozwiązaniem równania x − 7 = 0 jest liczba 7. Odpowiedź: Jedynym rozwiązaniem jest x = 7 . Zadanie 28. (2 punkty) W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty A = ( 2, 5 ) i C = ( 6, 7 ) są przeciwległymi

wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej BD. Rozwiązanie:

7−5 1 = , a następnie wyznaczam 6−2 2 współczynnik kierunkowy prostej BD prostopadłej do AC: aBD = −2 .

Obliczam współczynnik kierunkowy prostej AC: a AC =

⎛ 2+6 5+7 ⎞ , Wyznaczam współrzędne środka S odcinka AC: S = ⎜ ⎟ = ( 4, 6 ) i wyznaczam 2 ⎠ ⎝ 2 równanie prostej o współczynniku kierunkowym −2 , przechodzącej przez punkt S. Odpowiedź: y = −2 x + 14 . Zadanie 29. (2 punkty) 4 Kąt α jest ostry i tgα = . Oblicz sin α + cos α . 3 Rozwiązanie: I sposób rozwiązania: sin α 4 4 Z definicji funkcji tangens mamy = , zatem sin α = cos α . Podstawiam tę równość 3 cos α 3 2

9 ⎛4 ⎞ . do tożsamości sin α + cos α = 1 i otrzymuję ⎜ cos α ⎟ + cos 2 α = 1 , a stąd cos 2 α = 25 ⎝3 ⎠ 3 3 Zatem cos α = lub cos α = − . Ujemny wynik odrzucam, ponieważ zgodnie z warunkami 5 5 4 zadania kąt α jest kątem ostrym. Obliczam wartości funkcji sin α = , a następnie wartość 5 4 3 7 wyrażenia sin α + cos α = + = . 5 5 5 2

2

Odpowiedź: sin α + cos α =

7 . 5

3

II sposób rozwiązania: Rysuję trójkąt prostokątny, w którym oznaczam przyprostokątne 3x i 4x oraz 4 zaznaczam kąt ostry α tak, aby tgα = . 3 4x 3x 2 2 Z twierdzenia Pitagorasa obliczam długość przeciwprostokątnej: ( 4 x ) + ( 3x ) = 25 x 2 .

Zatem przeciwprostokątna ma długość 5x . Obliczam wartości funkcji sin α = i cos α =

4 5

3 4 3 7 . Stąd sin α + cos α = + = . 5 5 5 5

Odpowiedź: sin α + cos α =

7 . 5

Zadanie 30. (2 punkty)

⎛ m +1 m + 3 m + 9 ⎞ , , Wykaż, że dla każdego m ciąg ⎜ ⎟ jest arytmetyczny. 6 12 ⎠ ⎝ 4 Rozwiązanie: I sposób rozwiązania: Wystarczy sprawdzić, że zachodzi następujący związek między sąsiednimi wyrazami a +a ciągu: an = n −1 n +1 . 2 m +1 m+3 m+9 , a2 = . Mamy a1 = , a3 = 4 6 12 m +1 m + 9 + a1 + a3 12 = 3m + 3 + m + 9 = 4m + 12 = m + 3 = a . = 4 Zatem 2 2 2 24 24 6 ⎛ m +1 m + 3 m + 9 ⎞ , Stąd wynika, że ciąg ⎜ , ⎟ jest arytmetyczny dla każdego m. 6 12 ⎠ ⎝ 4 II sposób rozwiązania: m +1 m+3 m+9 Mamy a1 = , a2 = . , a3 = 4 6 12 Wystarczy sprawdzić, że a2 − a1 = a3 − a2 . Obliczamy: m + 3 m +1 m + 9 m + 3 − = − 6 4 12 6 2m + 6 − 3m − 3 m + 9 − 2m − 6 = 12 12 −m+3 −m+3 = 12 12

4

Zadanie 31. (2 punkty) Trójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A, C i E leżą na jednej prostej. Punkty K, L i M są środkami odcinków AC, CE i BD (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty K, L i M są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

D M B

A

L

C

K

E

Rozwiązanie: Z warunków zadania wynika, że )BAC = )DCE = 60° , więc odcinki AB i CD są

równoległe. Czworokąt ACDB jest trapezem. Odcinek KM łączy środki boków nierównoległych w tym trapezie, więc jest równoległy do jego podstaw. Wobec tego )MKL = 60° . Podobnie )ACB = )CED = 60° , więc odcinki BC i DE są równoległe. Czworokąt BCED jest trapezem. Odcinek ML łączy środki boków nierównoległych w tym trapezie, więc jest równoległy do jego podstaw. Wobec tego )KLM = 60° . Odpowiedź: Dwa kąty trójkąta KLM mają miarę 60° , zatem jest to trójkąt równoboczny. Zadanie 32. (5 punktów) Uczeń przeczytał książkę liczącą 480 stron, przy czym każdego dnia czytał jednakową liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby tę książkę o 3 dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę. Rozwiązanie: Oznaczam: x – liczba stron przeczytanych każdego dnia, y – liczba dni. Zapisuję i rozwiązuję układ równań: ⎧⎪ x ⋅ y = 480 ⎨ ⎪⎩( x + 8 ) ⋅ ( y − 3) = 480

Z pierwszego równania mamy x =

480 , zatem y

⎛ 480 ⎞ + 8 ⎟ ⋅ ( y − 3) = 480 ⋅ y ⎜ ⎝ y ⎠ ( 480 + 8 y )( y − 3) = 480 y Po uproszczeniu otrzymuję równanie y 2 − 3 y − 180 = 0 . Rozwiązaniem równania są liczby: –12 oraz 15. Odrzucam ujemną liczbę dni. Odpowiedź: Uczeń przeczytał książkę w ciągu 15 dni.

5

Zadanie 33. (4 punkty) Punkty A = ( 2, 0 ) i B = (12, 0 )

są

wierzchołkami

trójkąta

prostokątnego

ABC

o przeciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y = x . Oblicz współrzędne punktu C. Rozwiązanie: I sposób rozwiązania: Punkt C leży na prostej o równaniu y = x i na okręgu, którego środkiem jest środek przeciwprostokątnej, a promień jest równy połowie długości tej przeciwprostokątnej.

(12 − 2)2 + (0 − 0)2 Wyznaczam współrzędne środka przeciwprostokątnej: S = ( 7, 0 ) . 2 Zapisuję równanie okręgu: (x − 7 ) + y 2 = 25 Obliczam długość przeciwprostokątnej AB: AB =

= 10 .

⎧y = x Rozwiązuję układ równań ⎨ 2 2 ⎩( x − 7 ) + y = 25 Otrzymuję równanie z jedną niewiadomą: x 2 − 7 x + 12 = 0 Rozwiązaniem tego równania są liczby: x1 = 4 , x2 = 3 . Odpowiedź: Warunki zadania spełniają dwa punkty: C = (4,4 ) oraz C = ( 3,3) . II sposób rozwiązania: Oznaczmy współrzędne punktu C przez ( x, y ) . Wtedy AB =

( x − 2) + ( y − 0) 2

AC =

2

, BC =

( x − 12 ) + ( y − 0 ) 2

2

(12 − 2)2 + (0 − 0)2

= 10 ,

. 2

2

2

Trójkąt ABC jest prostokątny, więc spełniona jest równość AC + BC = AB , czyli

( x − 2)

2

+ y 2 + ( x − 12 ) + y 2 = 102 . 2

Punkt C leży też na prostej o równaniu y = x , zatem aby obliczyć jego współrzędne, należy rozwiązać układ równań: ⎧(x − 2)2 + y 2 + ( x − 12)2 + y 2 = 10 2 ⎨ ⎩y = x x 2 − 4 x + 4 + x 2 + x 2 − 24 x + 144 + x 2 = 100 4 x 2 − 28 x + 48 = 0 x 2 − 7 x + 12 = 0 x1 = 4, x2 = 3 Odpowiedź: Warunki zadania spełniają dwa punkty: C = (4,4 ) oraz C = ( 3,3) .

6

Zadanie 34. (4 punkty) Pole trójkąta prostokątnego jest równe 60 cm 2 . Jedna przyprostokątna jest o 7 cm dłuższa od drugiej. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Oznaczam: a, b – długości przyprostokątnych danego trójkąta. Zapisuję układ równań ⎧a = b + 7 ⎪ ⎨1 ⎪⎩ 2 a ⋅ b = 60 1 Otrzymuję równanie z jedną niewiadomą ( b + 7 ) b = 60 , którego pierwiastkami są liczby 2 b = 8 oraz b = −15 . Odrzucam ujemny pierwiastek, gdyż b jest długością odcinka. Zatem b = 8 , a = 8 + 7 = 15 . Teraz obliczam długość przeciwprostokątnej c = a 2 + b 2 = 82 + 152 = 289 = 17 . Odpowiedź: Przeciwprostokątna ma długość 17 cm.

7