Ciągi, odpowiedzi

SAVE OFFLINE

Odpowiedzi Ciągi Praca klasowa nr 1, grupa A Zadania zamknięte Nr zadania Odpowiedź

1 D

2 C

3 B

4 C

5 D

Zadania otwarte

6.

7.

8.

9.

Zapisanie warunku 2n2 – 11n + 5 = 0, gdzie n ∈ N+ Rozwiązanie równania: n = 5 oraz n = 0,5 Odrzucenie n = 0,5 i sformułowanie odpowiedzi: a5 = 0 Zapisanie zależności 3q4 = 48 Obliczenie q: q = 2 lub q = –2 i odrzucenie q = 2 Obliczenie S5: S5 = 33 Stwierdzenie, że kolejne czasy ćwiczeń (w minutach) tworzą ciąg arytmetyczny, w którym a1 = 10, r = 5 a) Obliczenie a6: a6 = 10 + 5 ⋅ 5 = 35 (minut) b) Zapisanie zależności 90 = 10 + (n – 1) ⋅ 5 i wyznaczenie n: n = 17 1 c) Obliczenie S17: S17 = 850 (minut), czyli S17 = 14 (h) 6 Wyznaczenie liczby kilokalorii: 4250 kcal a1 + 2r = 46 Ułożenie układu równań:   a1 + a7  2 ⋅ 7 = 294 a + 2r = 46 Doprowadzenie układu równań do postaci:  1 a1 + 3r = 42 Rozwiązanie układu równań: r = –4, a1 = 54 Zapisanie wzoru na ogólny wyraz ciągu (an): an = 58 – 4n

1 pkt 2 pkt 1 pkt 1 pkt 1 pkt

3 pkt

3 pkt

1 pkt 1 pkt 1 pkt

5 pkt

1 pkt 1 pkt 1 pkt

1 pkt 1 pkt 1 pkt

4 pkt

Praca klasowa nr 1, grupa B Zadania zamknięte Nr zadania Odpowiedź

1 D

2 A

3 B

4 B

5 C

Zadania otwarte Zapisanie zależności 6.

7.

8.

9.

2 + (n − 1) ⋅ 1 ⋅ n = 3321, gdzie n ∈ N+ 2

Rozwiązanie równania: n = –82 lub n = 81 Odrzucenie ujemnego rozwiązania i sformułowanie odpowiedzi: n = 81 Zapisanie zależności 6q2 = 54 Obliczenie q: q = 3 lub q = –3 i odrzucenie q = –3 Obliczenie S4: S4 = 80 Stwierdzenie, że kolejne czasy treningów (w minutach) tworzą ciąg arytmetyczny, w którym a1 = 20, r = 10 a) Obliczenie a5: a5 = 20 + 4 ⋅ 10 = 60 (minut), czyli 1 h b) Zapisanie zależności 120 = 20 + (n – 1) ⋅ 10 i wyznaczenie n: n = 11 5 Obliczenie S11: S11 = 770 (minut), czyli S11 = 12 (h) 6 Wyznaczenie liczby kilokalorii: 3080 kcal a1 + 3r = 40 Ułożenie układu równań  a + a 1 9  2 ⋅ 9 = 315 Doprowadzenie układu równań do postaci: a1 + 3r = 40  a1 + 4r = 35 Rozwiązanie układu równań: r = –5, a1 = 55 Zapisanie wzoru na ogólny wyraz ciągu (an): an = 60 – 5n

1 pkt 3 pkt 2 pkt 1 pkt 1 pkt 1 pkt

3 pkt

1 pkt 1 pkt 1 pkt

5 pkt

1 pkt 1 pkt 1 pkt

1 pkt 1 pkt 1 pkt

4 pkt

Praca klasowa nr 2, grupa A Zadania zamknięte Nr zadania Odpowiedź

1 C

2 B

3 B

4 A

5 A

Zadania otwarte Zapisanie warunku 2n2 – 11n + 7 ≤ 2, gdzie n ∈ N+ 6.

1 Wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności: n ∈ − , 5 2 Wybranie liczb naturalnych dodatnich ze zbioru rozwiązań nierówności i zapisanie odpowiedzi: a1, a2, a3, a4, a5 Zapisanie równania:

7.

8.

x3 − 8 = – x + 2 x2 2

Rozwiązanie równania: x = 4 Wyznaczenie ciągu: (64, 28, –8) Zapisanie danych an – n-ta rata, (an) – ciąg arytmetyczny, w którym a1 = 300, r = –20 oraz wyznaczenie an: an = 320 – 20n Obliczenie a12: a12 = 80 (zł) Obliczenie całkowitej spłaty kredytu: S12 = 2280 (zł) Wyznaczenie a7, a10 i wykazanie, że ciąg (a7, a10, a12) jest geometryczny: a7 = 180, a10 = 120 Stwierdzenie, że pola kolejnych kwadratów tworzą ciąg

1 2 1  p1 ⋅  1 − 6   2  = 126, gdzie p oznacza Zapisanie równania 1 1 1− 2 geometryczny o ilorazie

9.

pole pierwszego kwadratu i wyznaczenie p1: p1 = 64 Wyznaczenie pola szóstego kwadratu: p6 = 2

1 pkt 1 pkt

3 pkt 1 pkt

1 pkt 1 pkt 1 pkt

3 pkt

1 pkt 1 pkt 1 pkt

5 pkt

2 pkt

1 pkt

4 pkt 2 pkt

1 pkt

Praca klasowa nr 2, grupa B Zadania zamknięte Nr zadania Odpowiedź

1 B

2 C

3 D

4 C

5 A

Zadania otwarte

6.

7.

8.

Zapisanie warunku 8 – n2 ≥ 4, gdzie n ∈ N+ Rozwiązanie nierówności: n ∈ 〈–2, 2〉 Wybranie liczb naturalnych dodatnich ze zbioru rozwiązań nierówności i zapisanie odpowiedzi: a1, a2

4 x2 + 1 = 4 x3 + x Zapisanie równania 2 1 Rozwiązanie równania: x = 2

1 pkt 3 pkt 1 pkt 1 pkt

1 2 1  o1 ⋅  1 − 5   2  = 155, gdzie o oznacza Zapisanie równania 1 1 1− 2

1 pkt

obwód pierwszego trójkąta i wyznaczenie o1: o1 = 80 Wyznaczenie obwodu piątego trójkąta: o5 = 5

3 pkt

1 pkt

Wyznaczenie ciągu: (1, 1, 1) Zapisanie danych an – n-ta rata, (an) – ciąg arytmetyczny, w którym a1 = 1800, r = –50 oraz wyznaczenie an: an = 1850 – 50n Obliczenie a24: a24 = 650 (zł) Obliczenie całkowitej spłaty kredytu: S24 = 29400 (zł) Wyznaczenie a13, a21 i wykazanie, że ciąg (a1, a13, a21) jest geometryczny: a13 = 1200, a8 = 800 Stwierdzenie, że obwody kolejnych trójkątów tworzą ciąg geometryczny o ilorazie

9.

1 pkt 1 pkt

1 pkt 1 pkt 1 pkt

5 pkt

2 pkt

2 pkt

1 pkt

4 pkt

Praca klasowa nr 3, grupa A

Zadania zamknięte Nr zadania Odpowiedź

1 D

2 A

3 D

4 C

5 C

Zadania otwarte

6.

Przyjęcie oznaczeń i zapisanie długości boków trójkąta jako a, a + r, a + 2r (a, r > 0)

1 pkt

a + r = 12 Ułożenie układu równań  2 , (a, r > 0) 2 2 a + (a + r ) = (a + 2r ) a = 9 i rozwiązanie go  r = 3

3 pkt

Podanie długości boków: 9, 12, 15.

1 pkt

Zapisanie warunku (q = 7.

8.

a3 = 6 i rozwiązanie równania q2 = 6 a1

5 pkt

1 pkt

6 lub q = − 6 )

Określenie ilorazu ciągu q =

6

1 pkt

Zapisanie równania a1 + a5 = 74 i obliczenie a1 = 2

1 pkt

Obliczenie sumy i podanie wyniku w najprostszej postaci S8 = 518( 6 + 1)

2 pkt

Zapisane warunków x + y + z = 30, 2y = x + z i obliczenie y = 10

1 pkt

Zapisanie warunku (y – 6)2 = (x – 5)(z – 5)

1 pkt

Zapisanie równania x2 – 20x + 91 = 0 i rozwiązanie go x1 = 7, x2 = 13

2 pkt

Podanie odpowiedzi: (7, 10, 13) lub (13, 10, 7)

1 pkt

5 pkt

5 pkt

Praca klasowa nr 3, grupa B

Zadania zamknięte Nr zadania Odpowiedź

1 A

2 D

3 C

4 D

5 D

Zadania otwarte Przyjęcie oznaczeń i zapisanie długości boków trójkąta jako a, a + r, 15 (a, r > 0) 6.

a = 15 − 2r Ułożenie układu równań 

(a, r > 0)

2 2 2 a + (a + r ) = 15

i rozwiązanie go a = 9 r = 3 Podanie długości boków: 9, 12, 15. Zapisanie warunku

1 pkt

a5 = 8 i rozwiązanie równania a3

3 pkt

5 pkt

1 pkt

1 pkt

2

q = 8 (q = 2 2 lub q = − 2 2 ) 7.

8.

Określenie ilorazu ciągu q = 2 2

1 pkt

Zapisanie równania a1 + a3 = 63 i obliczenie a1 = 7

1 pkt

Obliczenie sumy i podanie wyniku w najprostszej postaci S8 = 511(2 2 + 1)

2 pkt

Zapisane warunków a + b + c – 36, a + c = 2b, 2y = x + z i obliczenie b = 12

1 pkt

Zapisanie warunku (b – 4)2 = (a – 6)(c + 2)

1 pkt

2

Zapisanie równania a – 32a + 220 = 0 i rozwiązanie go a1 = 10, a2 = 22

2 pkt

Podanie odpowiedzi: (10, 12, 14) lub (22, 12, 2)

1 pkt

5 pkt

5 pkt