Sz4 Szeregi potęgowe (2012-2013)

12 Pages • 3,991 Words • PDF • 391.6 KB
Uploaded at 2021-09-24 16:50

This document was submitted by our user and they confirm that they have the consent to share it. Assuming that you are writer or own the copyright of this document, report to us by using this DMCA report button.


Jerzy Chmaj

SZEREGI

Matematyka Stosowana

2012/2013

4. SZEREGI POTĘGOWE 4.1 Zbieżność szeregu potęgowego

W poprzednich podrozdziałach rozważane były szeregi liczbowe, tj. szeregi  an , gdzie an jest liczba rzeczywistą. Naturalnym uogólnieniem tych szeregów są szeregi funkcyjne, tj. szeregi  an  x  , gdzie an  x  jest funkcją. 



PRZYKŁAD 4.1 Szereg

n 1

n

x , zbieżny dla x  1;1 , jest szeregiem funkcyjnym. n

n

x danego szeregu są funkcjami potęgowymi. Dlatego szeregi funkcyjne n dla których funkcje an są funkcjami potęgowymi nazywane są szeregami potęgowymi.

Wyrazy an  x  





PRZYKŁAD 4.2 Szereg

sin nx

n 1 2

n

, zbieżny dla dowolnego x    ;   , jest szere-

giem funkcyjnym zwanym szeregiem trygonometrycznym, gdyż an  x  

sin nx 2n

.



Dla szeregów funkcyjnych

 an  x  rozważać będziemy dwa podstawowe zagadnienia:

n 0

1. Dla jakich x dany szereg jest zbieżny? 2. Jaka jest suma takiego szeregu? W niniejszym podrozdziale rozważać będziemy szeregi potęgowe. DEFINICJA 4.1 Szeregiem potęgowym nazywamy szereg postaci 2

a0  a1x  a2 x 

gdzie a0 , a1, a2 ,

n

 an x 





 an x n

n 0

są stałymi zwanymi współczynnikami szeregu. 

PRZYKŁAD 4.3 Szereg potęgowy

 xn

jest szeregiem geometrycznym w którym

n 0

a  1 , q  x . Wiadomo, że szereg ten jest zbieżny dla 1  x  1 i rozbieżny dla x  1 , a

ponadto jego suma S  x  

1 , tzn. 1 x

 1 n  x 1  x n 0

dla

25

x   1;1 .

Matematyka Stosowana

UWAGA 4.1 Przedział

SZEREGI

 1;1

Jerzy Chmaj



w którym zbieżny jest szereg

 xn

nazywamy przedzia-

n 0

łem zbieżności tego szeregu. 

PRZYKŁAD 4.4 Zbadać zbieżność szeregu

n

x  n! . n 0

Rozwiązanie. Obliczamy granicę  x n 1 n!  x lim   n   lim  0 dla każdego x  R . n    n  1! x  n  n  1  

Dany szereg jest zbieżny dla x    ;   . 

PRZYKŁAD 4.5 Zbadać zbieżność szeregu

 n! x n .

n 0

Rozwiązanie.   n  1!  x n 1  0 dla x  0   lim  n  1 x    . lim  n  n  dla x  0 n    n !  x  

Szereg jest zbieżny tylko w punkcie x  0 . 

TWIERDZENIE 4.1 Dla każdego szeregu potęgowego

 an x n

zachodzi jeden z

n 0

trzech możliwych przypadków 1. Szereg jest zbieżny tylko dla x  0 . 2. Szereg jest zbieżny dla każdego x    ;   . 3. Istnieje liczba R  0 taka, że szereg jest bezwzględnie zbieżny dla x  R tzn. dla x    R ; R  , i rozbieżny dla x  R , tzn. dla x    ;  R    R ;   .

UWAGA 4.2 Liczbę R z pkt 3 powyższego twierdzenia nazywamy promieniem zbieżności szeregu potęgowego. Dodatkowo definiujemy R  0 w przypadku zbieżności szeregu tylko w jednym punkcie i R   w przypadku zbieżności dla każdego x. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych dla których szereg potęgowy jest zbieżny nazywamy przedziałem zbieżności tego szeregu. Dla 0  R   przedział zbieżności jest jednym z czterech następujących przedziałów:

R ; R , R ; R

,

R ; R , R ; R .

26

Jerzy Chmaj

SZEREGI

Matematyka Stosowana

Obliczanie promienia zbieżności Dla wyznaczenia promienia zbieżności szeregu potęgowego można stosować następujące dwie metody oparte na kryteriach d’Alemberta i Cauchy’ego.

an 1

Metoda I. Załóżmy, że istnieje granica lim

n 

an

  . Zachodzi

gdy    .

1.

R  0,

2.

R  1  , gdy

0     .

3.

R   , gdy

  0.

Metoda II. Załóżmy, że istnieje granica lim n an   . Zachodzi n 

gdy    .

1.

R  0,

2.

R  1  , gdy

0     .

3.

R   , gdy

  0.

PRZYKŁAD 4.6 Obliczyć promienie zbieżności szeregów potęgowych

2  n!  2n ! x n , n 0 

(a)



2

n

(b)

x



n

,  n n  1 3  n 0 

(c)



n 1

n

3

n

n

n

x .

Rozwiązanie. (a)

an 1

lim

n 

an

 lim

n 

2n 1  n  1!

2

2n !  2 n 2  n!

2  n  1!

2  n  1 1  lim  . 2 n   2n  1 2n  2  2

Promień zbieżności R  2 , bo   1 2 . (b)

(c)

lim

an 1

n 

an

n  1 3n n   n  2  3n 1

 lim



1 . Promień zbieżności R  3 . 3

3 n n n lim n an  lim 3 n  lim  0 . Promień zbieżności R   . n  n n n

PRZYKŁAD 4.7 Wyznaczyć przedziały zbieżności szeregów 

(a)

x

n

n 1 n

2





,

(b)



x

n 1 n  2

n

Rozwiązanie.

27

 1n x 2n .  2n ! n 0   

n

,

(c)

Matematyka Stosowana

SZEREGI

Jerzy Chmaj

n (a) Promień zbieżności danego szeregu wynosi R  1 , bo lim n an  lim 1 n 2  1 . n 

n

Szereg jest więc zbieżny dla x   1;1 , a rozbieżny dla x    ;  1  1;   . Pozostaję jeszcze zbadać zbieżność szeregu dla x  1 oraz x  1 . 



Niech x  1 . Wtedy szereg przybiera postać

1

n 1 n

niczny rzędu 2). Dla x  1 szereg





 1n

2

i jest to szereg zbieżny (jako harmo-

jest tym bardziej zbieżny. Wobec powyż-

2

n 1 n szego dany szereg jest zbieżny dla x  1;1 .

(b) Promień zbieżności danego szeregu wynosi

R  2 , tzn. szereg jest zbieżny dla

x   2 ; 2 . Dla x  2 dany szereg staje się szeregiem anharmonicznym zbieżnym, podczas gdy dla x  2 – szeregiem harmonicznym rozbieżnym. Ostatecznie więc dany szereg jest zbieżny dla x  2 ; 2 . (c) Do danego szeregu stosujemy bezpośrednio kryterium d’Alemberta. Mamy

lim

n 

 1n 1 x 2n 1  2n ! 2n  2!  1n x 2n

x

2

1

lim

n   2n  1 2n  2 

 0,

dla każdego ustalonego rzeczywistego x. Wobec tego dany szereg jest zbieżny dla

x    ;   .

Szereg potęgowy o środku w punkcie x0 Szereg postaci







a0  a1 x  x0  a2 x  x0



2







 an  x  x0 

n

n 0

nazywamy szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 . Przedziałem zbieżności tego szeregu jest przedział

 x0  R ; x0  R

być może z dodatkiem jednego lub obydwu końców

przedziału lub przedział   ;   lub szereg jest zbieżny tylko w jednym punkcie x0 . Promień zbieżności obliczamy w analogiczny sposób jak dla szeregu potęgowego o środku 0. n n  x  2 PRZYKŁAD 4.8 Znaleźć przedział zbieżności szeregu .  1 n 4 n n 1 



28

Jerzy Chmaj

SZEREGI

Matematyka Stosowana

Rozwiązanie. Obliczamy promień zbieżności. lim

n 

an 1 an

 1n 1



4

n

1 n 1 .  lim  4 n n  1 4 n  4n 1 n  1  1n

 lim

n

Zatem R  4 i szereg jest bezwględnie zbieżny w przedziale  2 ; 6 . n  1 n  2  2  Dla x  2 : – szereg rozbieżny.   1 n n 4 n n 1 n 1 n n   1  n 6  2 Dla x  6 : – szereg zbieżny.   1 n n 4 n n 1 n 1 









Przedziałem zbieżności danego szeregu jest więc przedział  2 ; 6 .

4.2 Różniczkowanie i całkowanie szeregu potęgowego 

 an x n

Szereg potęgowy

zbieżny w pewnym przedziale I posiada sumę S  x  dla której

n 0

przedział I jest dziedziną. PRZYKŁAD 4.9 Dla x   1;1 mamy

 1 1 n jest   x , tzn., że funkcja S  x   1 x 1  x n 0



sumą szeregu

 x n . Zauważmy, że dziedziną naturalną funkcji

S jest R \ 1 , jednak

n 0

tylko w przedziale  1;1 zachodzi równość S  x  



 xn .

n 0

Tylko w nielicznych przypadkach suma szeregu potęgowego jest jedną z funkcji elementarnych. W ogólnym przypadku wiadomo tylko, że suma istnieje i choć nie znany jest jej wzór to można ustalić pewne jej własności – w szczególności sumę szeregu potęgowego można różniczkować i całkować. Zachodzi następujące twierdzenie. Twierdzenie 4.2 Jeśli S  x  



 an x n ,

x  I , to dla każdego punktu wewnętrz-

n 0

nego przedziału I zachodzi   d  d n n a x  a x   n  dx n  nan xn 1 . dx n 1 n 0 n 0 n 1 x x  x  a   a n 1 n n n 1 0 n x 2 .  S t  dt   , tzn.    ant  dt    an t dt   n x . n 1 n 1   n  0 n  0 n  0 n  0   0 0 0

10. S  x  



 nan x

n 1

 

, tzn.

29

Matematyka Stosowana

SZEREGI

Jerzy Chmaj

UWAGA 4.3 Suma szeregu potęgowego jest różniczkowalna (i całkowalna) wewnątrz przedziału zbieżności I, jest więc też funkcją ciągłą wewnątrz I. UWAGA 4.4 Promienie zbieżności szeregów 





 nan x n 1 ,

 an x n ,

n 0

a

 n n 1 x n 1

n 1

n 0

są identyczne. UWAGA 4.5 W punktach będących końcami przedziału zbieżności szeregi potęgowe powstałe przez różniczkowanie i całkowanie mogą być zarówno zbieżne jak i rozbieżne. Zachodzi ponadto następujące twierdzenie TWIERDZENIE 4.3 (Abela) Niech S  x 



 an x n ,

n 0

Jeśli szereg jest zbieżny dla x   R

x  R ; R .

 x  R ,

to suma szeregu jest prawostronnie

 x  R .

(lewostronnie) ciągła w x   R

PRZYKŁAD 4.10 Niech S  x  

 1 n   x , x   1;1 . Obliczymy pochodną szeregu. 1  x n 0

Mamy

1

S  x  

1  x 

 2



 nx

dt 1 t  0



n 1

 1 n    1 x n , Zauważmy, że 1  x n 0 x

n 1



 n  1 x n ,

x   1;1 .

n 0

x   1;1 . Całkując ten szereg otrzymujemy

n 1   n n nx  1 t dt   1 , x   1;1 ,          n  1  n 0  0 n  0 x

tzn.

ln 1  x  



  1

n 1

n 0 

Szereg

  1

n 0

n

2

3

4

x x x x  x    n 1 2 3 4

n

n 1

, x   1;1 .

x jest zbieżny dla x  1 i z twierdzenia Abela wynika, że jego suma n 1

jest funkcją lewostronnie ciągłą w x  1 , tzn.

lim ln 1  x   ln2  

x 1





n 0

30

 1n . n

Jerzy Chmaj

SZEREGI

Matematyka Stosowana

Zatem n 1



2

3

4

x x x x  x    n 1 2 3 4

n   1

ln 1  x  

n 0

dla x   1;1 .

PRZYKŁAD 4.11 Z równości  1 n   x dla x   1;1 1  x n 0

wynika, że  1 n n    1 x dla x   1;1 1  x n 0

oraz 1 1 x

 2



  1

dla x   1;1 .

n 2n

x

n 0

Korzystając z ostatniego wyniku mamy x   n 2n    1 t dt      2   1  t   n  0 n 0   0 0 x

dt

arctg x  





n  1

n 0

2n 1

3

5

x  n   1 t 2n dt    0 

7

x x x x x    2n  1 3 5 7

dla x   1;1 .

Dla x   1 otrzymamy szereg jest zbieżny, bo szeregi liczbowe przemienne 

  1

n 1

n 0

1 , 2n  1



  1

n

n 0

1 2n  1

są zbieżne. Z twierdzenia Abela wynika więc, żę suma szeregu jest funkcją prawostronnie ciągłą w x  1 i lewostronnie ciągłą w x  1 . Zatem arctg x 



  1

n

n 0

2n 1

3

5

7

x x x x x    2n  1 3 5 7 

n

x  n! n 0

PRZYKŁAD 4.12 Szereg

dla x  1;1 .

jest zbieżny w przedziale   ;   . Znajdziemy

sumę tego szeregu S  x  . Obliczamy pochodną

S  x  



n 1

nx  n! n 1





n 1

 x x   n  1!  n! n 1 n 0 n

dla x    ;   .

Mamy więc S  x   S  x  dla x    ;   oraz S 0  1 . Funkcja S  x   e spełnia x

powyższe warunki. Wobec tego 31

Matematyka Stosowana

x

e 

SZEREGI



n

2

Jerzy Chmaj

3

x x x  n!  1  x  2!  3!  n 0

dla x    ;   .

PRZYKŁAD 4.13 Znaleźć rozwinięcia danych funkcji w szeregi potęgowe o środku w punkcie x  0 (a)

f  x   ln

1 x , 1 x

f  x 

(b)

x 4 x

2

,

(c)

f  x   xe

x2

.

Rozwiązanie. (a) Metoda 1. Zauważmy, że x

x

1 x 1  1  1 ln  ln 1  x   ln 1  x      dt  dt  2  1 x 1 t 1 t  1  t2 0

1

Korzystając z rozwinięcia

1 x

x   1;1 .

0



 x 2n

 2

dla

dla x   1;1 , mamy

n 0

x   x  2n 1 1 x x 2n  2n ln  2    t  dt  2   t dt  2  dla x   1;1 . 1 x 2n  1   n  0 n  0 n  0   0 0

Dla x   1 otrzymany szereg jest rozbieżny. Metoda 2. Korzystając z rozwinięć

ln 1  x  



  1

n 1

x dla x   1;1 , n 1

n

n 0

ln 1  x   

n 1



x  n  1 dla x  1;1 , n 0

otrzymujemy n 1   n 1  1  1   x nx 1 x  n 1 ln     x .   ln 1  x   ln 1  x     1 n  1 n 0 n  1 n 0 n  1 1 x  n 0 n

Ostatni szereg można zapisać w formie 



n 0

 1n  1 x n 1  2  x  x3  x5    

n 1

3

5

 2n 1  x .   2  2 n  1 n 0 

Otrzymany szereg jest zbieżny dla x   1;1  1;1 , tzn. x   1;1 .

(b) Przekształcamy daną funkcję jak następuje

f  x 

x 4 x

2

32



x 1  . 4 1   x 2 2

Jerzy Chmaj

SZEREGI

 1 n   x dla x   1;1 otrzymujemy 1  x n 0

Z szeregu geometrycznego f  x 

Matematyka Stosowana

2n 1

 x 1 x   x 2 n   x 2       2 2n  2   4 1   x 2 4 n 0 n 0 2

dla 1  x 2 4  1 , tzn. dla x   2 ; 2 . 

n

x (c) Z rozwinięcia e   n! n 0 x

f  x   xe

x2

dla x    ;   mamy 

2n 1

 x x  n! n 0 n! n 0

x

2n

dla x    ;   .

ĆWICZENIA (SZEREGI POTĘGOWE) ● Wyznaczyć przedziały zbieżności danych szeregów potęgowych 

4.1



4.3



n2 n  2n x n0



n0

4.2

 2 n ! x n n!

5n  n! x n n0 

4.7

 n 3n  x  3 n1 

4.9

4.6

1

 1n

n 1



4.4



4.5



n0

 2 n1 x n



n2

n0

23n

 

n

 n 6n  2 x 1 n1

ln n n x 2 n n 2



4.8



n0

n

4.10

 x  4 n

1  2 x  3 n 2 n 1



 1n en1

n1

nn



 x 1n

● Znaleźć szereg potęgowy o środku w x  0 o danej sumie i wyznaczyć przedział zbieżności otrzymanego szeregu 4.11

S ( x) 

4.13

S ( x) 

x2 1 x 2 x 2 1 x 1

x 2  3x

4.12

S ( x) 

4.14

x S ( x)  2 x  3x  2

33

Matematyka Stosowana

4.15

S ( x) 

SZEREGI

1

4.16

1 x 

3

Jerzy Chmaj

 1 x  S ( x )  ln    1 x 

● Korzystając z rozwinięć 

xn , x  ;   , n! n0

ex  



arctg x    1 n0

n

x 2n1 , x 1; 1 2n 1

znaleźć rozwinięcia danych funkcji w szereg potęgowy o środku w x  0 4.17

S ( x )  xe3x

4.18

S ( x )  x3e x

4.19

S ( x )  x arctg x 2

4.20

S ( x )  arctg 2x

4.21

S ( x)  sinh x

4.22

S ( x)  cosh x

4.23 Korzystając z rozwinięcia funkcji f  x   x  0 , rozwinąć funkcję f  x  

2x





2 1 x 2

1 1 x 2



w szereg potęgowy o środku w punkcie

w szereg potęgowy.

 1n x 2n 2n ! n0   

4.24 Wykazać, że funkcja f  x   

f   x   f  x   0 .

jest rozwiązaniem równania różniczkowego

4.25 Funkcje Bessela pierwszego rodzaju rzędu 0 i 1 są zdefiniowane, odpowiednio, jako n 1 x 2n  J0  x    , 2 2n n0  n ! 2 

n 1 x 2n1  . J1  x    2n1 n ! n  1 !2   n0 

(a) Wykazać, że dziedzinami funkcji J 0 i J1 jest przedział   ;   . (b) Wykazać, że J1  x    J 0  x  . (c) Wykazać, że funkcje J 0 i J1 spełniają, odpowiednio, równania różniczkowe x2 J 0  x   x J 0  x   x 2 J 0 ( x)  0 ,





x 2 J1 x   x J1  x   x 2 1 J1( x )  0 .

34

Jerzy Chmaj

SZEREGI

Matematyka Stosowana

ODPOWIEDZI

4.1

 2; 2 

4.2

 12 ; 12

4.3

Zbieżny tylko dla x  0

4.4

1; 1

4.5

 ;  

4.6

 12; 4 

4.7

0; 6 

4.8

2; 1

4.9

 52 ; 72

4.10

 ;  



4.11

 x 2n2 ,  1; 1

n0 

4.12



n0

3n

 23 ; 23 

x n1 ,

2n1



4.13

1 x  2  x n ,

 1; 1

n 2

n

4.14

  1

n1 2

n 1

2n

n1

 1; 1 .

xn ,

4.15

1   1n  n  2  n 1 x n ,  2 n0

4.16

2



x 2n1 , 2 n  1 n0



4.17

3n n1  n! x , n0 

4.18

  1

4.19

  1

n0

 1; 1 . Wsk. x

1 n3 , x n!

n

1 x 4n3 , 2 n 1

1      2 1 x 3  2 1 x   1

dt  1 x  Wsk. ln  , x 1; 1   2  1 x  0 1 t 2

x  ;  

n

n0 

 1; 1 .

Wsk. Rozłożyć S  x  na ułamki proste.

x  ;  

x 1; 1

35

Matematyka Stosowana



4.20

  1

n0

x 2n1

n

 2n 1 22n1



4.21

x 2n1   2n 1! , n0 

,

Jerzy Chmaj

x 2; 2

x  ;   . Wsk. sinh x 

4.22

x 2n   2n ! , n0

4.23

  2n  x 2n1 ,



SZEREGI

x  ;   . Wsk. cosh x 

x 1; 1

n1

36



1 x x e e 2



1 x x e e 2



Sz4 Szeregi potęgowe (2012-2013)

Related documents

12 Pages • 3,991 Words • PDF • 391.6 KB

5 Pages • 1,441 Words • PDF • 75.7 KB

11 Pages • 1,595 Words • PDF • 513 KB

6 Pages • 1,411 Words • PDF • 257.1 KB

1 Pages • 235 Words • PDF • 103.1 KB