ZADANIA NA DOWODZENIE NIERÓWNOŚCI - poziom podstawowy

SAVE OFFLINE

ZADANIA NA DOWODZENIE NIERÓWNOŚCI W dowodach wprost zaczynamy od założeń a kończymy na tezie. Każdy krok (kolejna formuła) musi wynikać logicznie z poprzedniej. (czyli nie przekształcamy tezy!!!) Dowód nie wprost rozpoczynamy od przypuszczenia, że dowodzone twierdzenie jest fałszywe i udowodnieniu, że przypuszczenie takie prowadzi do sprzeczności. Przykład 1 Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x 4  3x 2  6 x  18  0 . Rozwiązanie Przekształcamy lewą stronę nierówności (szukając wzorów skróconego mnożenia):





 50 x 2  2   x  3 x 4  3x 2  6 x  18  x 4  4 x 2  x 2  6 x  4  9  5      2

0

2

0

Lewa strona tej nierówności jest sumą trzech składników, z których dwa pierwsze są nieujemne, a trzeci dodatni, więc suma ta jest dodatnia dla każdej liczby rzeczywistej x. ckd. Przykład 2 Wykaż, że jeśli x > 1, to prawdziwa jest nierówność: x 

4  5. x 1

Rozwiązanie Rozpatrzmy różnicę  0    2 4 xx  1  4  5x  1 x  6 x  9 x  3 0 x 5   x 1 x 1 x 1 x 1  2

0

Licznik ułamka jest nieujemny (bo kwadrat), mianownik zaś dodatni z założenia. 4  5 . cnw. Zatem powyższe wyrażenie jest nieujemne, czyli x  x 1 ZADANIA Z MATUR – POZIOM PODSTAWOWY

3.(sierpień 2019) Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x prawdziwa jest 1 x 1 nierówność x  x 4.(maj 2018) Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b prawdziwa jest 1 1 2   nierówność . 2a 2b a  b 5.(sierpień 2018) Wykaż, że jeżeli a i b są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, 1 1 to a  b     4 . a b 6.(sierpień 2017) Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej x 1 prawdziwa jest nierówność 4 x   4 . x 7.(czerwiec 2016) Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x 4  y 4  x 2  y 2  2 x 3  y 3 .





8.(maj 2015) Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 4 x 2  8xy  5 y 2  0 .

9.(czerwiec 2015) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność 3x 2  5 y 2  4 xy  0 . 10.(sierpień 2015) Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych x, y prawdziwa jest nierówność x 3  y 3  x 2 y  xy 2 . 11.(czerwiec 2014) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby 2 a2  b2 a b rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność  .   2  2 

1.(maj 2019) Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność 3a 2  2ab  3b 2  0 .

12.(maj 2013) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x + y + z = 0 prawdziwa jest nierówność xy  yz  xz  0 .

2.(czerwiec 2019) Wykaż, że dla każdej liczby a > 0 i dla każdej liczby b > 0 1 1 4 prawdziwa jest nierówność   . a b ab

13.(maj 2012) Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste a, b, c spełniają abc ab  nierówności 0 < a < b < c, to . 3 2

R O Z W I Ą Z A N I A – poziom podstawowy

4.(maj 2018) zał. a, b  0 ;

1.(maj 2019) zał. a, b  R ; teza: 3a 2  2ab  3b 2  0 Dowód 2 2 a a  2b2  0 3a 2  2ab  3b 2  a 2  2ab  b 2  2a 2  2b 2     b    2 0

Dowód Rozpatrzmy różnicę

0

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc powyższa suma jest nieujemna. ckd.

teza:

1 1 2   2a 2b a  b 1 1 2 ba  b   aa  b   4ab     2a 2b a  b 2aba  b 

0    a  b2  0  a  2 ab  b  0

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc licznik jest nieujemny. Mianownik natomiast jest dodatni, bo z zał. a, b  0 , więc też a  b  0 . Zatem iloraz jest  0 . 1 1 2   Stąd ckd. 2a 2b a  b

2.(czerwiec 2019) zał. a, b  0 ;

teza:

1 1 4   a b ab

Dowód

1 1 4 ba  b  aa  b  4ab       a b a  b aba  b  aba  b  aba  b   0    2 2 2 2 a  b 2  0 ab  b  a  ab  4ab b  a  2ab    a  ab b aba  b  aba  b  

Rozpatrzmy różnicę

0

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc licznik jest nieujemny. Mianownik natomiast jest dodatni, bo z zał. a, b  0 , więc też a  b  0 . Zatem iloraz jest  0 . 1 1 4 Stąd   ckd. a b ab

teza: x 

zał. a, b  0 ;

1 1 teza: a  b     4 a b

Dowód

a b a b 1 1 Rozpatrzmy różnicę a  b     4  1    1  4    2  b a b a a b  0    2 2 2 a  b  2ab a  b    0 ab ab  0

3.(sierpień 2019) zał. x  0 ;

5.(sierpień 2018)

Ponieważ kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, czyli licznik jest nieujemny 1 1 i mianownik jest dodatni (z założenia a, b > 0), więc a  b     4 ckd. a b

1 x 1 x

Dowód 0   2 1 x x 2  1  2 x x  1 0 Rozpatrzmy różnicę x  1  x x x 0

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc licznik jest nieujemny. Mianownik 1 x  1 ckd. natomiast jest dodatni, bo z zał. x  0 . Zatem iloraz jest  0 , czyli x  x

6.(sierpień 2017) zał. x  0 ;

teza: 4 x 

10.(sierpień 2015) zał. x, y  0 ; teza: x 3  y 3  x 2 y  xy 2 Dowód Rozpatrzmy różnicę x 3  y 3  x 2 y  xy 2  x 2 x  y   y 2 x  y   x 2  y 2 x  y  

1 4 x

Dowód 0     2 2 1 4 x  1  4 x 2 x  1 0 Rozpatrzmy różnicę 4 x   4   x x x 0

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc licznik jest nieujemny. Mianownik 1 natomiast jest dodatni, bo z zał. x  0 . Zatem iloraz jest  0 , czyli 4 x   4 x ckd.



 



2





a2  b2 a b teza:    2  2 

Dowód



2

0

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc powyższa suma jest nieujemna, zatem ckd. x 4  y 4  x 2  y 2  2 x3  y3



a 2  b 2 a 2  2ab  b 2  2a 2  2b 2 a b  Rozpatrzmy różnicę     2 4  2   0    2 2 2  a  2ab  b  a  b    0 4 4 Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc cały iloraz jest niedodatni, czyli





2

a2  b2 a b    2  2 

8.(maj 2015) zał. x, y  R ; teza: 4 x 2  8xy  5 y 2  0 Dowód 2 2x  2 y   y2  0 4 x 2  8xy  5 y 2  4 x 2  8xy  4 y 2  y 2    0

0

0

2

2



0

Z zał. x, y  0 , więc x  y  0 i kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc powyższy iloczyn jest nieujemny. ckd.

zał. a, b  R ;

 x2  x  y2  y  0      0

 x  y x  y   0    



11.(czerwiec 2014)

7.(czerwiec 2016) zał. x, y  R ; teza: x 4  y 4  x 2  y 2  2 x 3  y 3 Dowód Rozpatrzmy różnicę x 4  y 4  x 2  y 2  2 x 3  y 3  x 4  2x 3  x 2  y 4  2 y 3  y 2 





2

Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc powyższa suma jest nieujemna. ckd.

ckd.

12.(maj 2013) zał. x, y, z  R  x  y  z  0 ; teza: xy  yz  xz  0 Dowód Podnieśmy do kwadratu równość x  y  z  0 :

0  x  y  z   x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 xz . 2

9.(czerwiec 2015) zał. x, y  R ; teza: 3x 2  5 y 2  4 xy  0 Dowód 2 x  2 y  2x 2  y 2  0 3x 2  5 y 2  4 xy  x 2  4 y 2  4 xy  2 x 2  y 2       0

Komentarz jak wyżej.

ckd.

0

  Stąd xy  yz  xz   12  x 2  y 2  z 2   0       0   Suma kwadratów 3 liczb jest nieujemna, więc xy  yz  xz  0 .

ckd.

13.(maj 2012) zał. a, b, c R  0 < a < b < c;

teza:

abc ab  3 2

Dowód Załóżmy nie wprost, że

abc ab  . Wtedy 3 2

2a  2b  2c  3a  3b 2c  a  b sprzeczne, bo z założenia c  a i c  b , więc 2c  a  b . Zatem prawdziwa jest teza. ckd.