Miniatury matematyczne 82

Na niniejszą książeczkę składają się trzy niezależne artykuły. Niewątpliwym bohaterem pierwszego z nich jest trójkąt równoboczny, lecz nie jest to charakterystyka. Autor nie demonstruje tu rozlicznych i skądinąd szczególnie interesujących własności tej figury, ale tropi jej czasami mocno ukrytą występowanie w rozlicznych konfiguracjach geometrycznych. Nie ma żadnej przesady w tytule. Zapoznając się z kolejnymi przykładami, czujemy się jak na pokazie magii, tyle że zamiast królików z kapelusza wyłaniają się trójkąty równoboczne. A jak już je zauważymy, to pozornie chaotyczna sytuacja nabiera ładu i widać, jak znaleźć rozwiązanie.

Drugi artykuł dotyczy „sprawiedliwego" podziału przysłowiowego tortu. Tort oznacza tu dowolne dobro, które nie może być matematycznie podzielone na równe części. W przypadku podziału na dwie części powszechnie znana jest procedura, która można streścić jako „jeden dzieli, drugi wybiera". Opis jej wykorzystania znajdujemy już w Biblii. Tak właśnie Abraham i Lot podzielili między siebie krainę Kanaan. Sprawa komplikuje się jednak, gdy podziału należy dokonać pomiędzy obszerniejszą liczbę osób albo gdy próbujemy podzielić dobra z natury nierozłączne. Jak na przykład dwóch kolegów powinno podzielić między siebie komputer i rower?

z całą pewnością są to problemy o pokaźnym znaczeniu ergonomicznym. Można jedynie mieć wątpliwość, czy to jeszcze są problemy matematyczne. Problemami tymi zajął się na serio polski matematyk Hugo Steinhaus, który słynął z zainteresowania zadaniami leżącymi na styku matematyki, innych dziedzin wiedzy i działalności funkcjonalnej. Śmiało można go nazwać współtwórcą współczesnej matematyki wykorzystywanej. Artykuł w dostępnej formie ukazuje rozwiązania problemu podziału zaproponowane przez Steinhausa i innych matematyków.

Trzeci, ostatni artykuł dotyczy prostokątnego układu współrzędnych. Przylgnęła do niego nazwa kartezjańskiego układu współrzędnych od nazwiska dużego, siedemnastowiecznego filozofa i matematyka Ren´e Descartes’a zwanego też Kartezjuszem. Legenda głosi, że wpadł on na pomysł układu, gdy leżąc w łóżku, obserwował muchę chodzącą po suficie i zastanawiał się, jak najprościej opisać komuś aktualne położenie muchy. Miał wówczas dojść do wniosku, iż położenie najlepiej opisać, podając odległości muchy od dwóch sąsiednich ścian. Ile jest prawdy w tej legendzie?

Z jednej strony wydaje się, iż podobne pomysły pojawiały się to tu, to tam pokaźnie wcześniej. Z drugiej strony, na próżno szukać w dziele Kartezjusza o geometrii standardowego obrazka z dwiema prostopadłymi osiami. Trzeba było pracy jeszcze jednego pokolenia matematyków, aby pomysły przyjęły znany nam teraz kształt.

Układ współrzędnych ułatwił rozwiązanie wielu problemów funkcjonalnych,na ogół pozwolił skonsolidować na nowo różnorodne działy matematyki. Już w matematyce starożytnej Grecji można wskazać geometrię i arytmetykę, ale stanowiły jeszcze pewną całość. Matematycy tego czasu luźno używali metod geometrycznych do rozwiązania problemów arytmetycznych i odwrotnie. Wieki rozwoju oddaliły te dwa filary matematyki od siebie. Wprowadzenie układu współrzędnych pozwoliło odnaleźć świeże, twórcze powiązanie między nimi, które w krótkim czasie zaowocowało stworzeniem zupełnie nowych narzędzi matematycznych (np. W postaci rachunku różniczkowego i całkowego).

Autorka artykułu pokazuje liczne przykłady elementarnych problemów geometrycznych, których rozwiązanie ułatwia użycie współrzędnych, również jedno z tych mniej oczywistych powiązań między geometrią i arytmetyką, których odkrycie umożliwiło zastosowanie układu współrzędnych. Chodzi tu o twierdzenie Picka, które sprowadza obliczanie pola pewnych wielokątów do liczenia szczególnych punktów na płaszczyźnie (tzw. Punktów kratowych ).