Aksjomat toruń Miniatury matematyczne 77

W kolejnej miniaturze powracamy do rozważań związanych z polem figury. Nie będziemy badali wzorów na pola poszczególnych wielokątów. Problem ten jest skomplikowany, pomiędzy innymi ze względu na wczesny etap matematycznej nauki. Z tego powodu zajmiemy się porównywaniem pól wielokątów. Oczywiście nie będziemy zajmować się pogłębioną analizą samego pojęcia pola. Potraktujemy je w naturalnym i nieco intuicyjnym rozumieniu, tak jak to czyni się w trakcie początkowej nauki szkolnej matematyki. Zajmiemy się wyjątkowo polem wielokąta, typowo problemami wynikającymi ze słynnego twierdzenia Farkasa Bolyaia i Paula Gerwiena, które odkryli niezależnie w roku 1833.

Jeżeli dwa wielokąty posiadają równe pola, to zawsze można jeden w nich podzielić na skończoną liczbę takich wielokątów, żeby z nich można było ułożyć drugi wielokąt.

Twierdzenie to pozwala porównywać pola wielokątów bez obliczania tych pól. Warto zauważyć, że by stwierdzić, iż dwa wielokąty mają równe pola, starczy podzielić każdy z tych wielokątów na mniejsze wielokąty, tak by każdy z tych podziałów miał tyle samo komponentów i aby każdy wielokąt jednego podziału można nałożyć na pewien wielokąt drugiego podziału, tak żeby się pokrywały i aby te wielokąty w parach wyczerpywały wszystkie wielokąty w obydwu podziałach.

Oznacza to, iż wziąwszy na przykład kwadrat wraz z danym jego podziałem możemy opisywać wielokąty o tym samym polu, dla których istnieje podział złożony z takich samych wielokątów jak podział kwadratu. Czasami te problemy pojawiają się w zadaniach zabawowych, jednakże wcale technologicznie skomplikowanych, przykładem takich problemów są tangramy Będziemy rozważać wielokąty, przede wszystkim w miarę proste, wraz
z ich podziałem i starać się będziemy opisywać wielokąty posiadające taki sam podział. Zwracamy uwagę na fakt, że w początkowym etapie nauki matematyki przy wyprowadzaniu wzorów na pola nieco bardziej złożonych wielokątów korzystaliśmy z metody podziału takich wielokątów na mniejsze wielokąty i składaliśmy z nich wcześniej poznane wielokąty. Warto więc przećwiczyć tę metodę na bardziej niełatwych przykładach, tym bardziej że z podobnymi problemami spotykamy się na wielu konkursach matematycznych. Często układane wielokąty z komponentów danego podziału przypominają figury lub postacie spotykane w innych sytuacjach – postacie zwierząt, litery, figury szachowe itp – wówczas nie podkreślamy tego,generujemy wielokąty. Podobnie w odpowiedziach i w rozwiązaniach zadań nie staramy się za każdym razem zachowywać rozmiarów poszczególnych części podziału, przeważnie zwracamy uwagę na kształt otrzymywanych wielokątów, ale powinniśmy tworzyć wielokąty o danym polu W odpowiedziach i rozwiązaniach, nad wyraz w rozdziałach II oraz III, niejednokrotnie nie uzasadniamy poprawności odpowiedzi tzn. Czy mają one żądane własności. Ograniczamy się tylko do manualnego sprawdzenia spełnienia warunków rozwiązania.

Na końcu miniatury dodajemy szereg kartek z umieszczonymi na nich wielokątami, które wcześniej spotkaliśmy w omawianych zadaniach oferujemy Czytelnikowi sprawdzenie przy ich pomocy prawdziwości zamieszczonych odpowiedzi i być może poszukanie innych rozwiązań tych zadań.