Miniatury matematyczne 78 Aksjomat toruń

Na co dzień głównie nie zdajemy sobie sprawy z tego, na ile pewne zaszłości historyczne kształtują naszą teraźniejszość. Dotyczy to także rozwoju matematyki. Tak się złożyło, iż wszystkie trzy artykuły, które weszły w skład tej książeczki, w jakiś sposób dotyczą idei odrzuconych poprzez główny trend. Czy wobec tego warto się nimi zajmować? Czy przypadkiem zajmowanie się nimi nie jest jak studiowanie technik łupania kamienia lub lepienia garnków glinianych? Wydaje się, iż w przeciwieństwie do technologii idee matematyczne nie umierają. Pozornie zapomniane, potrafią odrodzić się, choć nie zawsze w dokładnie tej samej postaci.

Pierwszy artykuł dotyczy systemów pozycyjnych. W szkole frazę „dziesiętny system pozycyjny" wymawia się jednym tchem i traktuje jako nierozerwalną całość. W rzeczywistości składają się na nią dwa koncepty. Pierwszy, historycznie wcześniejszy, lecz chyba mniej ważny, to dziesiętność. Kiedy ludzie zaczęli liczyć, wpadli na pomysł, żeby zliczane obiekty układać w kupki tej samej liczności, następnie kupki w kupki kupek, te znowu w kupki i tak dalej. Po ile w kupce? Niektórzy odpowiadają – oczywiście po 10, bo człowiek ma 10 palców. Rzeczywiście w ten sposób powstały poprawnie znane nam dziesiątki, setki i tysiące, ale sytuacja wcale nie jest taka prosta, jak na pierwszy rzut oka mogłaby się wydawać. Bowiem niektórzy na tych samych palcach liczyli tylko do ośmiu – patyk włożony pomiędzy kolejne palce przesuwał się podczas liczenia, więc liczono raczej przerwy między palcami aniżeli palce. Jeszcze inni, dotykając kciukiem paliczków (kostek) pozostałych palców, potrafili na palcach zaledwie jednej rąk policzyć aż do 12. Jeszcze inni woleli grupować po 20. Czy używali do tego palców stóp? Nigdy się tego nie dowiemy. Ale do dziś dla Francuzów 80 to nie osiem dziesiątek, lecz cztery dwudziestki, a np. 91 to cztery dwudziestki i jedenaście.

Istota systemu pozycyjnego sprowadza się do wynalezienia zera i to zera traktowanego na razie nie jako liczba, ale jako znak pisarski oznaczający brak jednostek danego rzędu. Pozwoliło to po raz pierwszy jednoznacznie zapisywać dowolnie szerokie liczby za pomocą niedużego zestawu znaków czyli cyfr. Co więcej, okazało się,wykonywanie działań arytmetycznych na tak zapisanych liczbach jest nad wyraz proste.
Wynalazku dokonano w Indiach, a więc w kręgu kulturowym posługującym się systemem dziesiętnym. Jego sukces z pewnością przyczynił się do rozpowszechnienia i ugruntowania dziesiątkowego sposobu liczenia.
Ale jego istota jest niezależna od sposobu grupowania.

Niemal kompletnie wyparte systemy niedziesiętne powróciły wraz z pojawieniem się komputerów. Nie był to jednak powrót w ścisłym sensie, bo podstawy tych systemów są zupełnie inne od użytkowanych w przeszłości. Jedną z głównych trudności technicznych w konstrukcji elektronicznych urządzeń liczących było utrzymywanie i rozróżnianie stanów pamięci maszyny. Do zapisu liczb użyto więc systemu z możliwie najmniejszą liczbą cyfr czyli systemu binarnego. Niestety, to co korzystne dla maszyny, jest prawdziwym koszmarem dla człowieka. Zapis binarny liczby wymaga bowiem wyraźnie więcej cyfr niżeli zapis dziesiętny. Stąd na styku maszyna — człowiek używa się systemów, które prosto jest zamienić na kod binarny,posiadają podstawę bliższą temu, do czego jesteśmy przyzwyczajeni, a więc z reguły systemu szesnastkowego.

Sposobu zapisywania liczb dotyczy również ostatni artykuł, z tym że chodzi tu o liczby ułamkowe i czasy wyraźnie wcześniejsze. Pustynnemu klimatowi zawdzięczamy, iż przetrwały papirusy będące świadectwem technik rachunkowych użytkowanych w starożytnym Egipcie. Z dzisiejszego punktu widzenia mogą one wydać się dziwne i trudne, ale należy pamiętać, że wyprzedzają powstanie matematyki starogreckiej o ponad tysiąc lat. Warto je poznać choćby po to, by zobaczyć, z jakim trudem ludzie dochodzili do wydawałoby się oczywistych rozwiązań. Lecz są one także źródłem wielu nietypowych zadań i problemów matematycznych. Niektóre z nich, mimo prostoty sformułowania, do dziś nie znalazły rozwiązania.